बीजगणित

बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ

NCERT अभ्यास 9.5

प्रश्न 1: निम्नलिखित गुणनफलों में से प्रत्येक को प्राप्त करने के लिए उचित सर्वसमिका का उपयोग कीजिए

(i) `(x+3)(x+3)`

उत्तर: `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

समीकरण `=x^2+6x+9`

(ii) `(2y+5)(2y+5)`

उत्तर: पिछले उत्तर वाली सर्वसमिका का प्रयोग करने पर

समीकरण = `4y^2+20y+25`

(iii) `(2a-7)(2a-7)`

उत्तर: `(a - b)^2=a^2-2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

समीकरण `=4a^2-28a+49`

(iv) `(3a-1/2)(3a-1/2)`

उत्तर: पिछले उत्तर वाली सर्वसमिका का प्रयोग करने पर

समीकरण = `9a^2-3a+1/4`

(v) `(1.1m-0.4)(1.1m+0.4)`

उत्तर: `(a-b)(a+b)=a^2-b^2` का प्रयोग करने पर

समीकरण `=1.21m^2-0.16`

(vi) `(a^2+b^2)(-a^2+b^2)`

उत्तर: दिए गए समीकरण को इस तरह लिखा जा सकता है

`=(b^2+a^2)(b^2-a^2)`

पिछले उत्तर वाली सर्वसमिका का प्रयोग करने पर

समीकरण `= a^4-b^4`

(vii) `(6x-7)(6x+7)`

उत्तर: पिछले उत्तर वाली सर्वसमिका का प्रयोग करने पर

समीकरण = `36x^2-49`

(viii) `(-a+c)(-a+c)`

उत्तर: दिए गए पद को इस तरह लिखा जा सकता है

`(c-a)(c-a)`

`(a - b)^2=a^2-2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

समीकरण `=c^2-2ca+a^2`

(ix) `(x/2+(3y)/(4))(x/2+(3y)/(4))`

उत्तर: `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

समीकरण = `(x^2)/(4)+(9y^2)/(16)+(3xy)/(4)`

(x) `(7a-9b)(7a-9b)`

उत्तर: `(a - b)^2=a^2-2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

समीकरण `=49a^2-126ab+81b^2`

प्रश्न 2: निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात करने के लिए, `(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab` सर्वसमिका का उपयोग कीजिए

(i) `(x+3)(x+7)`

उत्तर: `x^2+(3+7)x+21`

`= x^2+10x+21`

(ii) `(4x+5)(4x+1)`

उत्तर: `=16x^2+(5+1)4x+5`

`=16x^2+24x+5`

(iii) `(4x-5)(4x-1)`

उत्तर: `=16x^2+(-5-1)4x+5`

`=16x^2-20x+5`

(iv) `(4x+5)(4x-1)`

उत्तर: `=16x^2+(5-1)4x-5`

`=16x^2+16x-5`

(v) `(2x+5y)(2x+3y)`

उत्तर: `=4x^2+(5y+3y)4x+15y^2`

`=4x^2+32xy+15y^2`

(vi) `(2a^2+9)(2a^2+5)`

उत्तर: `=4a^4+(9+5)2a^2+45`

`=4a^4+28a^2+45`

(vii) `(xyz-4)(xyz-2)`

उत्तर: `=x^2y^2z^2+(-4-2)xyz-8`

`=x^2y^2z^2-6xyz-8`

प्रश्न 3: सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित वर्गों को ज्ञात कीजिए

(i) `(b-7)^2`

उत्तर: `=b^2-14b+49`

(ii) `(xy+3z)^2`

उत्तर: `=x^2y^2+6xyz+9z^2`

(iii) `(6x^2-5y)^2`

उत्तर: `=36x^4-60x^2y+25y^2`

(iv) `(2/3m+3/2n)^2`

उत्तर: `4/9m^2+9/4n^2+2mn`

(v) `(0.4p-0.5q)^2`

उत्तर: `=0.16p^2-0.4pq+0.25q^2`

(vi) `(2xy+5y)`

उत्तर: `=4x^2y^2+20xy^2+25y^2`

प्रश्न 4: सरल कीजिए

(i) `(a^2-b^2)^2`

उत्तर: `=a^4-2a^2b^2+b^4`

(ii) `(2x+5)^2-(2x-5)^2`

उत्तर: `=4x^2+20x+25-(4x^2-20x+25)`

`=4x^2+20x+25-4x^2+20x-25=40x`

(iii) `(7m-8n)^2+(7m+8n)^2`

उत्तर: `=49m^2-112mn+64n^2+49m^2+112mn+64n^2`

`= 98m^2+128n^2`

(iv) `(4m+5n)^2+(5m+4n)^2`

उत्तर: `=16m^2+40mn+25n^2+25m^2+40mn+16n^2`

`=41m^2+80mn+41n^2`

(v) `(2.5p-1.5q)^2-(1.5p-2.5q)^2`

उत्तर: `=6.25p^2-7.5pq+2.25q^2-2.25p^2+7.5pq-6.25q^2`

`=4p^2-4q^2`

(vi) `(ab+bc)^2-2ab^2c`

उत्तर: `= a^2b^2+2ab^2c+b^2c^2-2ab^2c`

`=a^2b^2+b^2c^2`

(vii) `(m^2-n^2m)^2+2m^3n^2`

उत्तर: `=m^4-2m^3n^2+m^2n^4+2m^3n^2`

`=m^4+m^2n^4`

प्रश्न 5: दर्शाइए कि

(i) `(3x+7)^2-84x=(3x-7)^2`

उत्तर: LHS `=9x^2+42x+49-84x`

`=9x^2-42x+49`

RHS `=9x^2-42x+49`

`LHS = RHS`

(ii) `(9p-5q)^2+180pq=(9p+5q)^2`

उत्तर: LHS `=81p^2-90pq+25q^2+180pq`

`=81p^2+90pq+25q^2`

RHS `=81p^2+90pq+25q^2`

(iii) `(4/3m-3/4n)^2+2mn=(16)/(9)m^2+(9)/(16)n^2`

उत्तर: `(16)/(9)m^2+(9)/(16)n^2-2mn+2mn`

`=(16)/(9)m^2+(9)/(16)n^2` = RHS proved

(iv) `(4pq+3q)^2-(4pq-3q)^2=48pq^2`

उत्तर: `=16p^2q^2+24pq^2+9q^2-16p^2q^2+24pq^2-9q^2`

`=48pq^2`

(v) `(a-b)(a+b)+(b-c)(b+c)+(c-a)(c+a)=0`

उत्तर:`=a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2= 0`

प्रश्न 6: सर्वसमिकाओं के उपयोग से निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए

(i) `71^2`

उत्तर: `71^2=(70+1)^2`

सर्वसमिका `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

`=70^2+140+1^2`

`=4900+140+1=5041`

(ii) `99^2`

उत्तर: `=(100-1)^2`

सर्वसमिका `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

`= 100^2-200+1^2`

`=10000-200+1=9801`

(iii) `102^2`

उत्तर:`=(100+2)^2`

सर्वसमिका `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

`=100^2+400+2^2`

`=10000+400+4=10404`

(iv) `998^2`

उत्तर: `=(1000-2)^2`

सर्वसमिका `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

`=1000^2-4000+2^2`

`=1000000-4000+4=996004`

(v) `5.2^2`

उत्तर: `=(5+0.2)^2`

सर्वसमिका `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

`=5^2+2+0.2^2`

`=25+2+0.4=27.4`

(vi) `297xx303`

उत्तर: `=(300-3)(300+3)`

सर्वसमिका `(a-b)(a+b)=a^2-b^2` का प्रयोग करने पर

`=300^2-3^2`

`=90000-9=89991`

(vii) `78xx82`

उत्तर: `=(80-2)(80+2)`

पिछले उत्तर वाली सर्वसमिका का प्रयोग करने पर

`=80^2-2^2`

`=6400-4=6396`

(viii) `8.9^2`

उत्तर: `=(9-0.1)^2`

सर्वसमिका `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2` का प्रयोग करने पर

`=9^2-1.8+0.1^2`

`=81-1.8+0.01=79.21`

(ix) `10.5xx9.5`

उत्तर: `=(10+0.5)(10-0.5)`

सर्वसमिका `(a-b)(a+b)=a^2-b^2` का प्रयोग करने पर

`=10^2-0.5^2`

`=100-0.25=99.75`

प्रश्न 7: सर्वसमिका `a^2-b^2=(a+b)(a-b)` का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए

(i) `51^2-49^2`

उत्तर: `=(51+49)(51-49)`

`=100xx2=200`

(ii) `(1.02)^2-(0.98)^2`

उत्तर:`=(1.02+0.98)(1.02-0.98)`

`=2xx0.04=0.08`

(iii) `153^2-147^2`

उत्तर: `=(153+147)(153-147)`

`=300xx6=1800`

(iv) `12.1^2-7.9^2`

उत्तर: `=(12.1+7.9)(12.1-7.9)`

`=20xx4.2=84`

प्रश्न 8: `(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab` का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए

(i) `103xx104`

उत्तर:`=(100+3)(100+4)`

`=100^2+(3+4)100+12`

= 10000 + 1200 + 12 = 11212

(ii) `5.1xx5.2`

उत्तर: `=(5+0.1)(5+0.2)`

`=5^2+(0.1+0.2)5+0.02`

= 25 + 1.5 + 0.02 = 26.52

(iii) `103xx98`

उत्तर `=(100+3)(100-2)`

`=100^2+(3-2)100-6`

= 10000 + 100 – 6 = 10094

(iv) `9.7xx9.8`

उत्तर: `=(9+0.7)(9+0.8)`

`=9^2+(0.7+0.8)9+0.63`

= 81 + 13.5 + 0.63 = 95.13