वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
अभ्यास 12.2 Part 2
प्रश्न 5: त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60 डिग्री का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए:
- चाप की लंबाई
- चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
- संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
उत्तर: चाप की लंबाई का मान इस तरह निकाला जा सकता है:
`=(θ)/(360°)xx2πr`
`=(60°)/(360°)xx2xx(22)/(7)xx21`
`=22 cm`
संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
`=(60°)/(360°)xxπr^2`
`=(1)/(6)xx(22)/(7)xx21^2`
`=231 sq cm`
चूँकि त्रिज्याएँ 60o का कोण बनाती हैं, इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है क्योंकि दोनों त्रिज्याओं के सामने वाले कोण बराबर होंगे।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल इस तरह निकाला जा सकता है
`sqrt3/4xxtext(side)^2`
`=sqrt3/4xx21^2`
`=190.953 sq cm`
प्रश्न 6: 15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60 डिग्री का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्ध वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए पिछले प्रश्न की आकृति का इस्तेमाल करते हैं।
`=sqrt3/4xxtext(side)^2`
`=sqrt3/4xx15^2`
`=97.425 sq cm`
वृत्त का क्षेत्रफल `= πr^2 = π15^2 = 225π = 706.5 sq cm`
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
`=(1)/(6)xx225π`
`=117.75 sq cm`
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल `= 117.75 – 97.425 =20.325 sq cm`
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल `= 706.5 – 20.325 = 686.175 sq cm`
प्रश्न 7: त्रिज्या 12 सेमी वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120 डिग्री का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ∆ OPR में
`∠ROP = 60^o`
`∠OPR = 30^o`
OP = 12 cm
`text(cos)30°=(RP)/(OP)`
या, `sqrt3/2=(RP)/(12)`
या, `RP=6sqrt3`
इसलिए, `QP = 12sqrt3`
∆OQP का क्षेत्रफल
`=(1)/(2)xxtext(base)xxtext(height)`
`=(1)/(2)xx12xxsqrt3`
`=62.352 sq cm`
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
`=(120°)/(360°)xxπr^2`
`=(1)/(3)xxπxx12^2`
`=150.72 sq cm`
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल `= 150.72 – 62.352= 88.368 sq cm`
प्रश्न 8: 15 मी भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 मी लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए:
a. मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
उत्तर: क्वाड्रैंट का क्षेत्रफल = ¼ πr2
`= ¼ xx 25π = 19.625 sq cm`
b. चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 मी लंबी रस्सी के स्थान पर 10 मी लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए।
उत्तर: क्वाड्रैंट का क्षेत्रफल `= ¼ πr^2`
`= ¼ xx 100π = 78.5 sq cm`
त्रिज्या दोगुनी होने से क्षेत्रफल चारगुना हो जाता है, इसलिए क्षेत्रफल में 300% की वृद्धि होती है।
`78.625 – 19.625 = 58.875 sq cm`
प्रश्न 9: एक वृत्ताकार ब्रूच को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 मिमी है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए:
a. कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
उत्तर: परिधि `= 2πr = 35π = 110 mm`
5 व्यासों के लिये जरूरी तार की लंबाई `= 35 xx 5 = 175 mm`
तार की कुल लंबाई `= 110 + 175 = 285 mm`
b. ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
उत्तर: यहाँ पर कुल 10 त्रिज्यखंड हैं इसलिए हर त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल का `1/10` होगा।
`=(1)/(10)xxπr^2`
`=(1)/(10)xx(22)/(7)xx(35/2)^2`
`=96.25 sq mm`