10 गणित

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

अभ्यास 12.3 Part 2

प्रश्न 5: भुजा 4 सेमी वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 सेमी व्यास का एक वृत भी काटा गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Circle in Square

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल `= text(Side)^2 = 4^2 = 16  sq  cm`

कटे हुए भाग का क्षेत्रफल = दो वृत्तों का क्षेत्रफल = 1 वृत्त + 4 क्वाड्रैंट

`= 2 xx π xx 1^2 = 6.28  sq  cm`

इसलिए वर्ग के बचे हुए भाग का क्षेत्रफल `= 16 – 6.28 = 22.28  sq  cm`

प्रश्न 6: एक वृत्ताकार मेजपोश, जिसकी त्रिज्या 32 सेमी है, में बीच में एक समबाहु ABC त्रिभुज छोड़ते हुए एक डिजाइनर बना हुआ है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Triangle in Circle

उत्तर: ∆OCB में, OB = 32 cm, ∠OBC = 30o

`text(cos)30°=(BC)/(OB)`

Or, `(sqrt3)/(2)=(BC)/(32)`

Or, `BC=16sqrt3`

इसलिए, समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

`=(sqrt3)/(4)xxtext(side)^2`

`=(sqrt3)/(3)xx(32sqrt3)^2`

`=1330.176 sq cm`

वृत्त का क्षेत्रफल `= πr^2 = π xx 32^2 = 3215.36  sq  cm`

छायांकित भाग का क्षेत्रफल `= 3215.36 – 1330.176 = 1885.184  sq  cm`

प्रश्न 7: दी गई आकृति में ABCD भुजा 14 सेमी वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केंद्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Square

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल `= text(Side)^2 = 14^2 = 196  sq  cm`

चार क्वाड्रैंट का क्षेत्रफल = एक वर्ग का क्षेत्रफल

`= πr^2 = π xx 7^2 = 154  sq  cm`

छायांकित भाग का क्षेत्रफल `= 196 – 154 = 42  sq  cm`

प्रश्न 8: दी गई आकृति एक दौड़ने का पथ दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं। दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60 मी है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106 मी लंबा है। यदि यह पथ 10 मी चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए।

  1. पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
  2. पथ का क्षेत्रफल

उत्तर: दूरी = सीधे पथ की लंबाई + भीतरी लूप की परिधि

परिधि `= 2πr = 3.14 xx 60 = 188.4`

इसलिए दूरी `= 188.4 + 106 + 106 = 400.4  m`

सीधे पथ का क्षेत्रफल `= 2 xx text(length) xx text(width)`

`= 2 xx 106 xx 10 = 2120  sq  m`

वृत्तकार भाग का क्षेत्रफल `= π(R^2 – r^2)`

यहाँ, R = बाहरी वृत्त की त्रिज्या और r = भीतरी वृत्त की त्रिज्या

क्षेत्रफल `= π(40^2 – 30^2) = 2200  sq  m`

पूरे ट्रैक का क्षेत्रफल `= 2200 + 2120 = 4320  sq  m`