रैखिक समीकरण
NCERT अभ्यास 2.2
Part 2
प्रश्न 9: राहुल और हारुन की वर्तमान आयु में अनुपात 5:7 है। 4 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
उत्तर: मान लीजिए कि राहुल की आयु `=5x`
हारुन की आयु `=7x`
4 वर्ष के बाद
राहुल की आयु `=5x+4`
हारुन की आयु `=7x+4`
प्रश्न के अनुसार 4 वर्ष बाद दोनों की आयु का योग =56 वर्ष
इसलिए, `(5x+4)+(7x+4)=56`
या, `5x+7x+4+4=56`
या, `12x+8=56`
8 को RHS की ओर ले जाने पर
`12x=56-8=48`
दोनों तरफ 12 से भाग देने पर
`(12x)/(12)=(48)/(12)`
या, `x=4`
राहुल और हारुन की आयु x का मान रखने पर निकाली जा सकती है
राहुल की आयु `=5x=5xx4=20` वर्ष
हारुन की आयु `=7x=7xx4=28` वर्ष
प्रश्न 10: किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्याओं में अनुपात 7:5 है। यदि बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
उत्तर: मान लीजिए कि लड़कों की संख्या `=7x`
और लड़कियों की संख्या `=5x`
प्रश्न के अनुसार, लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 8 कम है।
इसलिए, `7x-8=5x`
-8 को RHS की ओर तथा 5x को LHS की ओर ले जाने पर
`7x-5x=8`
या, `2x=8`
दोनों तरफ 2 से भाग देने पर
`(2x)/(2)=8/2`
या, `x=4`
अब x का मान रखने पर
लड़कों की संख्या `=7x=7xx4=28`
लड़कियों की संख्या `=5x=5xx4=20`
इसलिए छात्रों की कुल संख्या `=28+20=48`
प्रश्न 11: बाइचुंग के पिताजी उसके दादाजी से 26 वर्ष छोटे हैं और उससे 29 वर्ष बड़े हैं। यदि उन तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है तो उनकी आयु अलग अलग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि बाइचुंग के पिता की आयु = m वर्ष
इसलिए बाइचुंग के दादा की आयु = m + 26 वर्ष
बाइचुंग की आयु = m – 29` वर्ष
प्रश्न के अनुसार तीनों की आयु का योग = 135 वर्ष
इसलिए `⇒ (m – 29) + m + (m + 26) = 135` वर्ष
`⇒ m – 29 + m + m + 26 = 135` वर्ष
`⇒ m + m + m – 29 + 26 = 135` वर्ष
`⇒ 3m – 3 = 135` वर्ष
अब – 3 को RHS की ओर ले जाने पर
`3m = 135 + 3`
`⇒ 3m = 138` वर्ष
दोनों तरफ 3 से भाग देने पर
`(3m)/(3)=(138)/(3)`
या, `m=46` वर्ष
यानि, बाइचुंग के पिता की आयु = 46 वर्ष
बाइचुंग की आयु `= m – 29 = 46 – 29 = 17` वर्ष
बाइचुंग के दादा की आयु `= m + 26 = 46 + 26 = 72` वर्ष
प्रश्न 12: 15 वर्ष बाद रवि की आयु उसकी वर्तमान आयु से 4 गुनी हो जाएगी। रवि की वर्तमान आयु क्या है?
उत्तर: मान लीजिए कि रवि की वर्तमान आयु = m
इसलिए 15 वर्ष बाद रवि की आयु = m + 15
प्रश्न के अनुसार,15 वर्ष बाद रवि की आयु = 4 x रवि की वर्तमान आयु
`⇒ m + 15 = 4 xx m`
`⇒ m + 15 = 4 m`
अब m को RHS की ओर ले जाने पर
`15 = 4m – 3`
`⇒ 15 = 3m`
दोनों तरफ 3 से भाग देने पर
`(15)/(3)=(3m)/(3)`
या, `m=5`
इसलिए रवि की वर्तमान आयु = 5 वर्ष
प्रश्न 13: एक परिमेय संख्या को `5/2` से गुणा कर `2/3` जोड़ने पर `-7/(12)` प्राप्त होता है। वह संख्या क्या है?
उत्तर: मान लीजिए कि परिमेय संख्या `=a/b`
प्रश्न के अनुसार
या, `(a/bxx5/2)+2/3=-(7)/(12)`
`2/3` को RHS की ओर ले जाने पर
`(a/bxx5/2) =-(7)/(12) -2/3`
या, `a/bxx5/2=(-7-8)/(12)`
या, `a/bxx5/2=-(15)/(12)`
दोनों तरफ `5/2` से भाग देने पर
`a/bxx5/2÷5/2=-(15)/(12)÷5/2`
या, `a/bxx5/2xx2/5=-(15)/(12)xx2/5`
या, `a/b=-3/6=-1/2`
प्रश्न 14: लक्ष्मी एक बैंक में खजांची है। उसके पास नगदी के रूप में रु 100, रु 50 व रु 10 वाले नोट हैं। उनकी संख्याओं में क्रमश: 2:3:5 का अनुपात है और उनका कुल मूल्य रु 4,00,000 है। उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने कितने नोट हैं?
उत्तर: मान लीजिए कि रु 100 के नोटों की संख्या `=2x`
रु 50 के नोटों की संख्या `=3x`
रु 10 के नोटों की संख्या `=5x`
इसलिए रु 100 के नोटों का मूल्य `=2x\xx100=200x`
रु 50 के नोटों का मूल्य `=3x\xx50=150x`
रु 10 के नोटों का मूल्य `=5xxx10=50x`
कुल मूल्य `=4,00,000=200x+150x+50x`
या, `400x=4,00,000`
दोनों तरफ 400 से भाग देने पर
`(400x)/(400)=(4,00,000)/(400)`
या, `x=1000`
अब x का मान रखकर नोटों की कीमत इस तरह निकाली जा सकती है
रु 100 के नोटों की संख्या `=2x=2xx1000=2000`
रु 50 के नोटों की संख्या `=3x=3xx1000=3000`
रु 10 के नोटों की संख्या `=5x=5xx1000=5000`
प्रश्न 15: मेरे पास रु 300 मूल्य के रु 1, रु 2 और रु 5 वाले सिक्के हैं। रु 2 वाले सिक्कों की संख्या रु 5 वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और सिक्कों की कुल संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक प्रकार के कितने सिक्के हैं?
उत्तर: दिया गया है , कुल मूल्य = रु 300
सिक्कों की कुल संख्या = 160
सिक्कों के मूल्य = रु 1, रु 2 और रु 5
रु 2 के सिक्कों की संख्या = 3 x रु 5 के सिक्कों की संख्या
मान लीजिए कि रु 5 के सिक्कों की संख्या = m
इसलिए रु 2 के सिक्कों की संख्या `= m xx 3 = 3m`
रु 1 के सिक्कों की संख्या = सिक्कों की कुल संख्या – (रु 5 के सिक्कों की संख्या + रु 2 के सिक्कों की संख्या)
इसलिए रु 1 के सिक्कों की संख्या`= 160 – (m + 3m) = 160 – 4m`
इसलिए, कुल कीमत
`⇒ 300 = [1 xx (160 – 4m)] + (2 xx 3m) + (5 xx m)`
`⇒ 300 = (160 – 4m) + 6m + 5m`
`⇒ 300 = 160 – 4m + 6m + 5m`
`⇒ 300 = 160 – 4m + 11m`
`⇒ 300 = 160 + 7m`
अब160 को LHS की ओर करने पर
`300 – 160 = 7m`
`⇒ 140 = 7 m`
दोनों तरफ 7 से भाग देने पर
`(140)/(7)=(7m)/(7)`
या , `m=20`
इसलिए, रु 5 के सिक्कों की संख्या = 20
रु 1 के सिक्कों की संख्या `= 160 – 4m`
`= 160 – (4 xx 20) = 160 – 80 = 80`
रु 2 के सिक्कों की संख्या = 3m
`= 3m = 3 xx 20 = 60`
सिक्कों की संख्या रु 1 = 80, रु 2 = 60 और रु 5 = 20
प्रश्न 16: एक निबंध प्रतियोगिता में आयोजकों ने तय किया कि प्रत्येक विजेता को रु 100 और विजेता को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को रु 25 पुरस्कार के रूप में दिए जाएँगे। यदि पुरस्कारों में बाँटी गई राशि रु 3,000 थी तो कुल 63 प्रतिभागियों में विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिया गया है , प्रतिभागियों की कुल संख्या = 63
पुरस्कार की कुल राशि = Rs 3000
विजेता को रु 100 और बाकी हर प्रतिभागी को रु 25 मिलें
विजेताओं की संख्या = ?
मान लीजिए कि विजेताओं की संख्या = m
चूँकि विजेताओं की संख्या + हारने वालों की संख्या = प्रतिभागियों की कुल संख्या
इसलिए, m + हारने वालों की संख्या = 63
अब m को RHS ओर करने पर,
हारने वालों की संख्या `= 63 – m`
अब, विजेताओं को दी जाने वाली कुल राशि `= m xx 100 = 100m`
हारने वालों को दी जाने वाली कुल राशि
`= (63 – m) xx 25 = (63 xx 25) – 25 m = 1575 – 25 m`
इसलिए `100 m + 1575 – 25 m = 3000`
`⇒ 100 m – 25 m + 1575 = 3000`
अब 1575 को RHS की ओर ले जाने पर
`100 m – 25 m = 3000 – 1575`
`⇒75 m = 1425`
दोनों तरफ 75 से भाग देने पर
`(75m)/(75)=(1425)/(75)`
या, `m=19`
इसलिए विजेताओं की संख्या = 19