समांतर चतुर्भुज

अभ्यास 4

Part 2

प्रश्न 5: इस आकृति में ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य बिंदु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि

(a) ar(BDF) = `1/4` ar(ABC)

उत्तर: ΔABC की भुजा = s

ΔBDE की भुजा = `s/2` (क्योंकि BD = DC)

ar(ABC) `=(sqrt3)/4xxs^2`

ar(BDE) `=(sqrt2)/4xx(s/2)^2=(sqrt3)/4xx(s^2)/4`

`(text(BDE))/(text(ABC))=1/4`

या, ar(BDE) = `1/4`ar(ABC) सिद्ध हुआ

(b) ar(BDE) = `1/2` ar(BAE)

उत्तर: ∠ACB = 60°

∠DBE = 60°

(समबाहु त्रिभुज के कोण)

इसलिए, AC||BE

इसलिए, ar(ΔBAE) = ar(BEC)

(एक ही आधार BE पर और समांतर रेखाओं AC और BE के बीच के त्रिभुज)

चूँकि BD = `1/2` BC

इसलिए, ar(ΔBDE) = `1/2` ar(ΔBEC)

या, ar(ΔBDE) = `1/2` ar(ΔBAE) सिद्ध हुआ

(c) ar(ABC) = 2 ar(BEC)

उत्तर: चूँकि BD = `1/2`BC = `1/2`AC

इसलिए, PE = `1/2`AD

इसलिए, ar(ABC) = `1/2` AD × BC

ar(BEC) = `1/2xx1/2` AD × BC

या, `(ar(BE\C))/(ar(AB\C))=1/2`

या, ar(ABC) = 2 ar(BEC) सिद्ध हुआ

(d) ar(BFE) = ar(AFD)

उत्तर: ΔABC और ΔBDE समबाहु त्रिभुज हैं

इसलिए, ∠ABC = &BDE = 60°

इसलिए, AB||DE

ΔBED और ΔAED एक ही आधार ED पर और समांतर रेखाओं AB और DE के बीच बने हैं।

इसलिए, ar(ΔBED) = ar(ΔAED)

दोनों ओर से ar(ΔEFD) घटाने पर

ar(ΔBED) – ar(ΔEFD) = ar(ΔAED) – ar(ΔEFD)

= ar(ΔBFE) = ar(ΔAFD) सिद्ध हुआ

(e) ar(BFE) = 2 ar(FED)

उत्तर: समकोण त्रिभुज ΔABD में

AD² = AB² - BD²

या, AD² `a^2-(a^2)/4`

`=(4a^2-a^2)/4=(3a^2)/4`

या, AD `=(sqrt3a)/2`

समकोण त्रिभुज ΔPED में

EP² = DE² - DP²

या, EP² `=(a/2)^2-(a/4)^2`

`=(a^2)/4-(a^2)/(16)=(3a^2)/(16)`

या, EP `=(sqrt3a)/4`

अब, ar(ΔAFD) = `1/2` × FD × AD

`=1/2`× FD × `(sqrt3)/2`a ……..(1)

इसी तरह, ar(ΔEFD) `=1/2` × FD × EP

`=1/2` × FD × `(sqrt3)/4`a …………….(2)

समीकरण (1) और (2) से

ar(ΔAFD) = 2 ar(ΔEFD)

(प्रश्न (d) के उत्तर के अनुसार)

ar(ΔAFD) = ar(ΔBEF)

या, ar(ΔBFE) = 2 ar(ΔEFD)

(f) ar(FED) = `1/8` ar(AFC)

उत्तर: ar(ΔAFC) = ar(ΔAFD) + ar(ΔADC)

= ar(ΔBFE) + `1/2` ar(ΔABC) (प्रश्न (d) के उत्तर के अनुसार )

= ar(ΔBFE) + `1/2` × 4 × ar(ΔBDE) (प्रश्न (a) के उत्तर के अनुसार)

= ar(ΔBFE) + 2 ar(ΔBDE)

= 2 ar(ΔFED) + 2(ar(ΔBFE) + ar(ΔFed))

= 2 ar(ΔFED) + 2(2 ar(ΔFED) + ar(ΔFED)) (प्रश्न (e) के उत्तर के अनुसार)

= 2ar(ΔFED) + 2(3 ar(ΔFED))

= 2 ar(ΔFED) + 6 ar(ΔFED)

= 8 ar(ΔFED)

या, ar(ΔFED) = `1/8` ar(ΔAFC) सिद्ध हुआ

(संकेत: EC और AD को मिलाइए। दर्शाइए कि BE || AC और DE || AB है, इत्यादि।)

प्रश्न 6: चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar(APB) × ar(CPD) = ar(APD) × ar(BPC) है।

(संकेत: A और C से BD पर लम्ब खींचिए।)

उत्तर: इस आकृति में चतुर्भुज ABCD दिया गया जिसके विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु P पर काटते हैं। अब AM⊥BD और CN⊥BD खींचिए

ar(ΔAPB) = `1/2` × BP × AM

ar(ΔCDP) = `1/2` × DP × CN

या, ar(ΔAPB) × ar(ΔCDP)

= (`1/2` × BP × AM) × (`1/2` × DP × CN)

`=1/4` × BP × DP × AM × CN ……………..(1)

इसी तरह, ar(ΔAPD) × ar(ΔBPC)

= (`1/2` × DP × AM) × (`1/2` × BP × CN)

`=1/4` × BP × DP × AM × CN …………….(2)

समीकरण (1) और (2) से

ar(ΔAPB) × ar(Delta;CPD)

= ar(ΔAPD) × ar(ΔBPC)